Exponenciação

Exponenciação ou potenciação é uma operação matemática, escrita como an, envolvendo dois números: a base a e o expoente n. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência an indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é[1],

Damesma forma que a multiplicação de n por a pode ser vista como uma soma de n parcelas iguais a a, ou seja,

O expoente geralmente é indicado à direita da base, aparecendo sobrescrito ou separado da base por um circunflexo. Pode-se ler an como a elevado à n-ésima potência, ou simplesmente a elevado a n. Alguns expoentes possuem nomes específicos, por exemplo, a2 costuma ser lido como a elevado ao quadrado e a3 como a elevado ao cubo.


A potência an também pode ser definida quando n é um inteiro negativo, desde que a seja diferente de zero. Não existe uma extensão natural para todos os valores reais de a e n, apesar de que quando a base é um número real positivo é possível definir an para todo número real n, e até mesmo para números complexos através da função exponencial ez. As funções trigonométricas podem ser representadas em termos da exponenciação complexa.



Na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares utiliza-se um tipo de exponenciação em que os expoentes são matrizes.


A potenciação também é usada em várias outras áreas, incluindo economia, biologia, física e ciência da computação, com aplicações tais quais juros compostos, crescimento populacional, cinética química, comportamento de ondas e criptografia de chave pública.










= a(n + m)


seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso.










Então:










Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.






Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo:










Pode-se provar que, com essa definição, continua valendo para .






[editar] Expoentes um e zero


qualquer número elevado a um é igual a ele mesmo.






qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.






[editar] Indeterminações


Na exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:










, quando






[editar] Potências cujo expoente não altera o resultado


[editar] Potências de 0


As potências de 0 são as potências de base 0, dados por 0n n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: 00, mas as outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0.






[editar] Potências de 1


As potências de 1 são as potências de base 1, dados por 1n, sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", 1n será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.






[editar] Potências de 10


Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, 106 é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299792458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2.99792458 × 108 e então aproximada para 2.998 × 108. Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa 103 = 1000, logo, um quilómetro é igual a 1000 metros.






[editar] Potências de 2


Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem 2n valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = 210 = 1024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrão dos prefixos, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1024 é kibi-, então 1024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.






[editar] Expoentes fracionários


Para que a expressão






= x(n + m)


seja válida para números racionais, devemos ter:






=


Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando.






=


[editar] Expoentes decimais


No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.










[editar] Expoentes irracionais


Como a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais:










[editar] Expoentes imaginários e complexos


Ver artigo principal: Fórmula de Euler


Euler divulgou a fórmula










que, sob a forma equivalente já era conhecida por Roger Cotes.






Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer a real e z complexo, z = x + i y:










[editar] Sintaxe em linguagens de programação e programas


A maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:






x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel, Calculadora Cientifica e vários outros


x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash


pow(x, y): C, C++ (deve-se incluir a biblioteca math.h)


Math.pow(x, y): Java, JavaScript


$x^y$: LaTeX


Em pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logaritmo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.


Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.






Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário de outras linguagens de programação, uma expressão do tipo =-A1^2, que, significaria tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, "POTÊNCIA", em inglês, "POWER"), tornando o código totalmente ilegível.